No século XVII, as potências marítimas queriam instrumentos precisos para a medição do tempo como forma de facilitar a navegação, nomeadamente para a medição da longitude, e os reis de França e Inglaterra ofereciam generosas quantidades de dinheiro àquele que se julgasse capaz de produzir um cronómetro preciso e fiável.
Christiaan Huygens (1629-1695) motivado por este problema, estudou o pêndulo cónico e o pêndulo oscilante entre duas lâminas curvas; no que respeita a este último caso, conseguiu demonstrar que as lâminas em forma de ciclóide assegurava um isocronismo rigoroso das oscilações.
Pêndulo ciclóide:
Consideremos, num plano vertical, um arco de ciclóide (tracejado azul) cuja tangente
à origem é horizontal.
No referencial xOy, ele admite a seguinte representação paramétrica:
x = a.(θ + sen(θ))
e y = a(1 - cos(θ)).
A tangente ao ciclóide
faz um ângulo θ/2 com Ox e se se assumir O como
origem, o comprimento do arco é
s = 4a.sen( θ/2).
Coloca-se uma massa m sobre o ciclóide na extremidade de um fio em tensão. A massa é submetida ao seu peso,
mg, e à tensão R do fio.
Temos a relação vectorial
mg + R = mΓ.
Ao projectar sobre a tangente ao ciclóide (ela faz um ângulo θ /2
com Ox), temos: - m.g.sen (θ /2) = md2s/dt2.
Seja d2s/dt2 + s.g/4a = 0.
Esta equação admite como solução s = s0.cos(2πt/T)
com T = 2π(4a/g)½.
O período das oscilações é independente de s0.
Para produzir o pêndulo ciclóide, C. Huygen utilizou o desenvolvimento do ciclóide que é um ciclóide igual
(desenhada a preto na aplicação) e colocou a massa móvel suspensa por um fio (a vermelho na aplicação)
presa ao ponto de cúspide do ciclóide. Os dois arcos são construídos com lâminas de perfil recto, o fio enrola-se sucessivamente sobre os arcos
e a massa móvel desloca-se sobre o ciclóide desejado.
Note que à época de
Huygens, o cálculo diferencial estava ainda numa fase de desenvolvimento por Leibniz (Huygens não participou) e que o seu trabalho incide fundamentalmente
nas considerações geométricas e em algumas experiências.
A aplicação:
Os ciclóides suportados pelos fios estão desenhados a preto.
A trajectória da massa móvel é representada pelo tracejado azul.
O fio de suspensão e da massa são desenhados a vermelho.
A constante a dos ciclóides é igual a 0,1 m.
O botão [Iniciar] inicia a animação com t = 0.
Um cronómetro mostra o tempo decorrido desde o início do movimento do pêndulo. O ângulo θ é também mostrado no quadrado azul.
Pressionando o botão esquerdo do rato, a animação é parada e largando-o a animação é retomada..
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Maio de 2011
