Esta é a trajectória seguida por uma viatura que se desloca a uma velocidade constante V e cujo condutor gira o volante a uma velocidade também constante.
Na realidade, a ligação directa de uma recta a um círculo de raio R coloca muitos problemas:
virando rapidamente o volante, os passageiros são brutalmente submetidos à aceleração radial (V2/R).
Propriedades:
É tomado como origem do tempo o início da ciclóide e consideremos o ponto M da curva. Seja L o comprimento curvilíneo da curva L e t o tempo necessário para percorrer L = OM.
Como a velocidade é constante, temos V = dL/dt.
Seja π o ângulo da tangente à curva.
Modifica-se o ângulo de viragem ω = dπ/dt de forma linear, com dω/dt = d2π/dt2 = Constante.
Como dL/dt é também uma constante, temos d2π/dL2 = Constante.
Por convenção, temos d2π/dL2 = 1/C2. Por integração obtém-se L/C2 = dπ/dL e π = L2/2C2.
Por definição o raio da curva R é dL/dπ . Assim, R = C2/L onde RL = C2.
Deduzem-se as equações diferenciais paramétricas da curva:
dx = cos(π).dL e dy = sen(π).dL que correspondem às da espiral de Cornu.
Não existe uma solução analítica para este problema e é preciso fazer uma integração numérica.
Existem tabelas que dão os valores de x (L) e y(L) para diferentes valores de C.
Um programa conhecido de desenho industrial tem agora um módulo para desenhar as ligações entre linhas rectas e arcos de clictóides.
Nota: é também preciso calcular o declive (variável com L viste a aceleração radial cresce com L) da via de circulação para que a reacção do veículo seja, se possível, normal à via.
A aplicação:
A aplicação apresenta (no topo) um aclopamento recta-círculo e em baixo, um aclopamento recta-clotóide.
Os vectores a azul correspondem aos vectores velocidade de norma constante.
Os vectores desenhados a verde correspondem aos vectores aceleração.
A clotóide é desenhada através do método numérico utilizado para desenhar a espiral de Cornu.
O vector velocidade correspondete é desenhado utilizando a relação π = L2/2C2.
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Abril de 2011
