Leis de Kepler
  A aplicação:
Esta temática é também analisada na aplicação Força central no qual se determina a trajectória unicamente por integração numérica das equações do sistema formado pelas duas massas.
Aqui, começamos por calcular os elementos da trajectória, neste caso elíptica, a partir das condições iniciais (x = xo, y = 0, vx = 0, vy = vyo). Seguidamente, verifica-se por integração numérica que esta trajectória é a seguida pela massa em movimento.
Como a força de atracção entre as duas massas é f = - km / r2, a energia potencial é U = -km / r.
A conservação de energia deste sistema isolado é dada por:
v2/2 - k / r = E (energia mecânica por unidade de massa)
Da mecânica, encontramos as seguintes relações que permitem calcular a e b (semi-eixos) da elipse e T (período de revolução). v e r são relativos ao mesmo ponto da trajectória.
    • v2 = k(2/r -1/a)    (1)
    • b2 = r2v2a/k         (2)
    • kT2 = 4 π 2a3         (3)
     A relação 1 coloca em evidência uma velocidade crítica v2c = 2k/r. Para as velocidades iniciais superiores, o movimento é hiperbólico. Esta relação mostra, também, que para v2 = k/r, a trajectória é circular.
    Utilização:
    Com o rato, faça deslizar o ponto azul situado na extremidade do vector de velocidade inicial (em vermelho) para que sejam modificadas as condições iniciais. A aplicação exibe na banda superior os parâmetros da trajectória. As unidades são arbritárias e a constante k é igual a 10. (4 π 2/k é próximo de 4).
    O botão "Pausa/Seguir" permite parar a animação.
    O botão "Áreas" funciona como um interruptor, permitindo visualizar ou não, a lei das áreas.
    Em modo normal, a aplicação apresenta a azul os "raios de vectores" que interligam, em movimento, a órbitra e a vermelho o vector velocidade que é tangente à trajectória.
    Ao alterar as condições iniciais o programa exibe o gráfico 2ln(T) - ln(4) em função de 3ln(a) para que se visualize a 3ª lei de Kepler: com as modidificações o ponto representativo desloca-se pela primeira diagonal do gráfico.
    Os valores mais baixos de r e de v são automaticamente corrigidos.

    Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
    Faculté des Sciences exactes et naturelles
    Université du Maine - Le Mans
    Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel L. Silva Pinto e Alexandra Coelho em Outubro de 2010