Em alguns circuitos de montanhas russas, há uma faixa com um loop vertical. Assim, para que os veículos podem percorrer o circuito sem sair dos trilhos, é necessário que sua velocidade inicial de entrada no circutio seja suficientemente elevada.
Equações de movimento:
Coloquemos um veículo no ponto P de massa M e negligenciamos o atrito.
Seja C o centro de círculo e θ o ângulo entre CP e a vertical e V0 a velocidade do carro à entrada do circuito.
Seja i o vector unitário ao longo de CP e j o vector normal a CP em P.
Seja a a aceleração de P e N o vector reacção de suporte. Como se despreza o atrito, N é normal à trajectória radial.
Com o princípio fundamental da dinâmica temos: Ma = N + Mg.
A velocidade do carro é V = R. θ'. j e a sua aceleração é : a = -R.θ' 2.i + R.θ''.j.
Projectando-se sobre CP temos que: - M.R.θ' 2 = - N + M.g.cos(θ)
Seja: N = M.R.θ' 2 + M.g.cos(θ) (a)
A conservação da energia mecânica permite escrever:
½(M.V2 - MV02) = - M.g.R(1 - cos(θ)).
Assim: θ' 2 = - (V0/R)2 - 2.g.(1 - cos(θ)) / R (b)
De (a) e (b), deduz-se que :
N = M.V02 / R + M.g.(3.cos(θ) - 2) (c)
Movimentos possíveis:
Nota:
- A velocidade angular e, por conseguinte a velocidade, anulam-se num ângulo θ1 tal que cos(θ1) = 1 - V02 / 2Rg.
- A reação de suporte N anula-se num ângulo θ2 tal que cos(θ2) = (2 - V02 / 2Rg) / 3 = (2/3).cos(θ1).
O ângulo θ1 é assim inferior ao ângulo θsub>2.
O ângulo θ1 existe se V0 < (2Rg)½. O ângulo θ2 existe se V0 < (5Rg)½.
* Se V0 < (2Rg)½ a velocidade anula-se mas a reacção de suporte continua positiva: O carro continua em contacto com o circuito e regressa.
* Se (2Rg)½ < V0 < (5Rg)½ a velocidade continua positiva mas a reacção do suporte anula-se: O carro deixa o circuito e cai em queda livre. (Queda livre com velocidade inicial V).
* Se V0 > (5Rg)½ a reacção do suporte continua positiva e o carro pode fazer o circuito sem cair do suporte.
NOTA: Os valores de atrito alteram unicamente os valores de velocidade que correspondem a uma alteração no tipo de movimento.
A aplicação:
O raio do círculo é de 15 cm e corresponde a um circuito de montanhas russas efectuado por carros miniatura.
Para produzir a aninação, foi necessário integrar a equação diferencial (b) recorrendo ao método Runge-Kutta de ordem 4.
O vector N é desenhado a azul e o vector V a verde.
O botão [Iniciar] permite iniciar a animação.
Fazer deslizar o cursor vermelho com o rato para alterar o valor da velocidade inicial.
Um clique no botão da direita e a animação é parada. Ao soltar o botão a animação é retomada.
É também possível usar a combinação do botão esquerdo + tecla [Ctrl].
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Outubro de 2010
