A solução geral dos deslocamentos de uma corda vibrante é da forma:
Considere uma corda de comprimento L cujas extremidades estão fixas.
A solução deve satisfazer as condições: y(0, t) = 0 e y(L, t) = 0.
Para x = 0 : f1(t) = - f2(t)
Para x = L : f2(t - L/v) = - f1(t + L/v) = f2(t + L/v)
A função f2 (e, portanto f1) deve ser uma função periódica de x. Se o valor de x for alterado de L para - L, a função deve conservar o mesmo valor. O seu período é então igual a 2L. Consideramos as soluções na forma f1(t) = Asen (ωt) e, portanto f2(t) = - Asen(ωt) seja:
Para satisfazer as condições nos limites em L, é necessário que 2L.ω /v = k.2 π (com k inteiro)
Somente os valores ω k = k. π .v/L da frequência permitem satisfazer as condições nos limites. A solução procurada é:
São obtidas ondas estacionárias (ou modos próprios) na corda. Fora das extremidades, existem pontos que se mantêm permanentemente imóveis. São os denominados nós.
Supondo que uma extremidade está fixa em y(0, t) = 0 e que a outra está livre, inclinação nula paraf x = L, observa-se igualmente ondas estacionárias para as frequências ω k = (k + ½). π.v/L.
A aplicação
O cálculo da forma da corda no momento t + 1 utiliza os valores da forma nos momentos t e t - 1. Foi alterado somente o aspecto da corda no momento t = 0, tendo em conta a função siusoidal y(x, 0) = sen (kπ x/L) e a propagação entre 0 e L em vez de uma deformação localizada.
É possível modificar o número de nós e das condições limite (extremidade direita fixa (k inteiro) ou livre (k inteiro + ½ )).
Ajuste a velocidade da animação em função do processador do seu computador.
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Fevereiro de 2011
