As pulsações das oscilações independentes são ω12 = K/M1, ω22 = K/M2. ω32 = K/M3.
Cada massa é submetida a força elástica das duas molas a que estão ligadas.
As equações do movimento são então:
Se as três massas são iguais à resolução do sistema dado pelos valores próprios:
Para tratar de todos os casos possíveis, no programa, este sistema de equações diferenciais acopladas é resolvido numericamente recorrendo ao método de Runge-Kutta de ordem 4.
Por hipótese, a velocidade initcal das duas massas são sempre nulas.
É possível constatar que para qualquer condição inicial a solução é geralmente de aspecto complexo. É uma combinação linear de três modos próprios, que está na forma:
Xi = Ai.cos(ωpt) + Bi.cos(ωqt) + Ci.cos(ωrt) (com i = 1 , 2, 3)
O valor das constantes Ai ,Bi e Ci é função das condições iniciais.
Para a determinação das frequências próprias
consulte a animação sobre a cadeia de osciladores.
Utilização:
O valor X1 de amplitude inicial do primeiro pêndulo é sempre igual a +1.
O valor de K é igual a 1 N/m et M2 = 1kg.
Desafio:Com os valores idênticos das massas (M1/M2 = 1) e (M3/M2 = 1), teste os casos:
a) X2 = 0; X3 = -1;
b) X2 = 1,414; X3 = 1
c)X2 = -1,414; X3 = 1
Estas condições iniciais correspondem aos três modos próprios.
Verifique
(de modo grosseiro devido à resolução) que as pulsações próprias são iguais
a 0,765, 1,414, 1,847 (em unidades (K/M)½ .
Para quaisquer condições
iniciais, o movimento das massas é complexo.
O aspecto das curvas obtidas para os modos próprios
mostra a fiabilidade do método de Runge-Kutta para este sistema de 6 incógnitas (3 posições e 3 velocidades).
É necessário validar o último dado introduzido na caixa de texto.
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Junho de 2011
