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Objeto:
Um oscilador paramétrico é um sistema em que pode ser modificado de forma periódica a frequência
própria do oscilador. Com um circuito multiplicador, é possivel realizar um circuito paramétrico
R, L, C em série, que obedece à equação dita de Mathieu. Para um tal sistema, a relação entre a tensão de comando
e a tensão de saída é não-linear.
Se o potencial aplicado na entrada B do multiplicador
é V = -v.cosωt, pode escrever-se que:
U2 = Ri + Ldi/dt; U1 = q/C; i = dq/dt; US
= KV.U1 (K é a constante do circuito multiplicador). A carga
obedece à equação:
Ld2q/dt2 + R.dq/dt + (1 - KV)q/C = 0
Temos λ = R/2L, ω02 = 1/LC. A equação
passa à equação de Mathieu: d2q/dt2 + 2λ.dq/dt + (1
+ K.v.cosωt)q = 0 . O efeito produzido
pela tensão de comando V equivale a uma variação na capacidade de C.
Tudo se passa como se a espessura do condesador variasse segundo uma lei
da forma e = E(1 - KV). O estudo analítico (bastante delicado) desta equação
mostra que existem ressonâncias em torno das frequências 2f0, f0,
2f0/3 ... Abaixo de um valor limite de v, o sistema
oscila com uma amplitude reduzida. Para além do limite, a amplitude de oscilação diverge
com um crescimento exponencial limitado na prática pelo multiplicador.
O atrito do circuito atua sobre o valor do limite. Próximo de certos valores
dos parâmetros, o funcionamento deste circuito é muito sensível aos valores das condições iniciais.
O programa calcula a evolução do potencial nos extremos do condensador por integração numérica da equação
diferencial mas, o valor máximo da carga do condensador é limitado por levar em conta o desempenho real do multiplicador.
Comandos:
As zonas de texto permitem a entrada de valores dos parâmetros do circuito da montagem.
O botão permite a visualização quer da evolução da tensão U1
em função do tempo quer da curva de intensidade em função da carga (equivalente a um diagrama de fase).
Os valores de L e C são escolhidos pela frequência própria igual a 1 kHz. A esta frequência, o funcionamento
do multiplicador não apresenta qualquer problema de diferença de fase. Note que é necessário validar a última entrada introduzida.
Estudo: Para ω/w0
próxima de 2, analise a evolução do valor limite. Analise o papel do atrito. Os regimes de funcionamento de um destes circuitos são múltiplos:
analise, por exemplo, os seguintes casos e faça variar ligeiramente os parâmetros em torno dos valores propostos.
ω/ω0 |
Vexc
|
λ
|
1,2
|
1,5
|
0
|
1,05
|
0,8
|
50
|
1,03
|
0,8
|
50
|
1,52
|
0,9
|
0
|
2,5
|
1
|
0
|
0,66
|
1.2
|
20
|
0,60
|
0,81
|
100
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Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências
por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em janeiro de 2012
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