Aberrações cromáticas

Notas Teóricas  :

A distância focal de uma lente fina de índice n e cujas faces são os raios R1 e R2 é dada pela relação
1/F' = (n - 1)(1/R1 - 1/R2).
A vergência é V = k.(n - 1)
Como o índice é função (não linear) do comprimento de onda, a distância focal varia de acordo com a cor da luz. Uma lente está manchada pela aberração cromática longitudinal que pode ser avaliada por dF'/F' = -dn/(n - 1). Esta aberração é função do material de que é feita a lente e não pode ser diminuida por ele.
Existe também uma aberração transversal (ver o applet) proporcional à abertura da lente.
Para determinar a potência dispersiva de um vidro, é medido o índice para três radiações características: linha D de hélio 587,6 nm, linha C de hidrogénio 656,3 nm e linha F de hidrogénio (486,1 nm). Definem a constringência ou número de Abbe (A) padrão
A = (nD - 1)/(nF - nC).
Existem duas famílias de vidros, os "crown" com n na ordem de 1,52 e A do meio de 60 e os vidros "flint" com n na ordem de 1,63 e A meio de 35.
 Correcção das aberrações.
É possível efectuar uma boa correcção recorrendo a duas lentes contíguas.
A vergência do conjunto é V = V1 + V2 = k1.(n1 - 1) + k2.(n2 - 1)
A variação da vergência para os raios F e C é dada por dV = k1.(n1F - n1C) + k2.(n2F - n2C). As vergências médias são: V1D = k1.(n1D -1) e V2D = k2.(n2D -1).
 
Assim, dV = V1D.(n1F - n1C)/(n2D-1) + V2D.(n2F - n2C)/(n2D -1). Ao introduzir as constringências, vem : dV = V1D/A1 + V2D/A2.
As distâncias focais dos raios C e F serão idênticas se V1D/A1 + V2D/A2 = 0.
As duas lentes devem ser feitas com vidros diferentes e ser de diferente natureza.
De V = V1 + V2 e de V1D/A1 + V2D/A2 = 0, retira-se: V1D = VD.A1/(A1 - A2) e V2D = -VD.A2/(A1 - A2).
Exercício: Determine as lentes usadas na produção de lentes acromáticas convergentes de 20 cm de distância focal usando vidros cujas características são as consideradas na tabela:

Radiação

 C

 D

 F

l (nm)

 656,3

 587,6

 486,1

crown

 1,5153

 1,5179

 1,5241

flint

 1,6182

 1,6231

 1,6355

Resposta: Lente convergente em crown com comprimento focal de 7,8 cm e lente divergente de flint com distância focal -12,8 cm.
Nota: É possível também produzir lentes acromáticas recorrendo a um dubleto. A espessura do dubleto introduz uma variável suplementar que permite usar lentes de natureza idêntica e do mesmo material. É possível mostrar que a ocular de Huygens é acromática. (Para dois vidros da mesma natureza, a condição de acromatismo é 2.e = F'1 + F'2)

O applet :
Três caixas de texto permitem modificar os valores dos índices para os raios C, D e F. Para observar um fenómeno visível, é necessário afastarmo-nos dos valores reais.
Dois botões permitem alterar o tamanho do diafragma.
Verifique se a abertura do diafragma não exerce qualquer influência sobre a aberração longitudinal mas sim sobre a aberração transversal.


Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Outubro de 2010