Os 230 grupos do espaço

Design da aplicação.

Para cada grupo do espaço selecionado, o programa efetua 4 operações:

A ordem da lista dos grupos e dos nomes ecolhidos são os das tabelas internacionais da cristalografia.

Traçado dos elementos de simetria.

        Este desenho é feito a partir de uma tabela onde os geradores elementares são codificados para cada grupo. A aplicação de algumas regras simples acerca da translação da rede e da natureza dos elementos de simetria do grupo, permitem aligeirar esta tabela.
        Para todos os grupos centrosimétricos, a origem é assumida como sendo um centro de simetria, o que permite simplificar os cálculos subsequentes das posições equivalentes.
        Para certos grupos cúbicos, os elementes de simetria foram omitidos propositadamente de forma a não sobrecarregar as figuras.

Determinação das posições equivalentes na sua forma literal.

        No cálculo das posições equivalentes, separa-se o efeito das operações de simetria do grupo pontual correspondente e a influência das translações. Após a descodificação do símbolo de Herman-Mauguin dou grupo, determina-se pela aplicação das operações de simetria pontuais, como se transformam as coordenadas do nó [1, 1, 1]. A matrizes 3x3 assim obtidas para cada posição equivalente são agrupadas numa tabela (matriz) S. Também uma tabela T (vetor) contém a soma das translações intrínsecas relacionadas com os elementos de translação (eixos helicoidais e espelhos) e com as translações ligadas à posição dos elementos de simetria do sistema utilizado.

O tripleto inicial X (vetor de componentes x, y, z) transforma-se num tripleto X' segundo a relação matricial X' = S.X + T.
A análise dos componentes das tabelas S e T permitem definir a tabela das posições gerais equivalentes sob a forma literal.

As translações relacionadas com os modos da rede são tratados de forma global para mostrar as posições equivalentes. Por fim, para cada posição determinada desta forma, acresce-se o esquema das translações inteiras da rede (1, 0, 0) (-1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, -1, 0) (1, 1, 0) (-1, 1, 0) (1, -1, 0) (-1, -1, 0).

Ao visualizar a lista de valores literais, especifica-se no ínicio desta lista as translações da rede que devem eventualmente ser adicionadas aos valores seguintes. Os geradores usados não são os mesmos das tabelas internacionais ou são usados numa ordem diferentes. Desta forma, a ordem da lista pode ser diferente da das tabelas.

 Cálculo e desenho das posições equivalentes.

        No cálculo das posições equivalentes sob a forma numérica, o utilizador deve introduzir as coordenadas reduzidas do átomo inicial. O programa calcula a lista das coordenadas numéricas dos átomos equivalentes a partir da lista das coordenadas literais e efetua o desenho no ecrã.
        Se o átomo está numa determinada posição, o programa gera dois (4, 8, ...) átomos com as mesmas coordenadas. Um procedimento permite eliminar estes duplicados e visualizar somente um átomo: isto permite estudar as posições particulares. Todos os cálculos são efectuados em coordenadas reduzidas. Para o desenho, a conversão entre as coordenadas e as coordenadas do ecrã têm em conta o sitema estudado.
        Para os grupos trigonal, hexagonal e cúbico, é muitas vezes mais útil modificar os valores das coordenadas para que possa ser obtida uma projeção de mais fácil leitura.

Nota: um átomo está em posição particular se estiver colocado num eixo não helicoidal ou num espelho de não translação. Nas Tabelas Internacionais, as posições particulares estão listadas e identificadas pela sua nomenclatura de Wyckoff (número de posições equivalentes seguidas de um letra atribuída convencionalmente).

Determinação das condições de difração.

        A determinação das extinções sistemáticas para as posições gerais é realizada a partir da análise do conteúdo da tabela T. O programa permite mostrar a lista das condições e a lista de condições sobre os índices dos planos reticulares que possibilitam a difração.  A primeira linha corresponde às condições próprias no modo da rede. As linhas seguintes correspondem às condições relacionadas com os elementos de simetria de translação do grupo. As extinções que são induzidas pelos átomos em posição particular (um ou mais elementos de simetria não translacional) não são calculados.

Símbolos usados

Os símbolos utilizados na representação dos elementos de simetria são os símbolos convencionais.

  Símbolos usados para espelhos

Símbolos usados para os eixos

Os eixos 64 e 65 são enantiomorfos de 62 e 61.

Os eixos são desenhados a verde escuro, os espelhos estão representados a vermelho. 
Os centros de simetria são representados com um ponto amarelo com uma circunferência a roxo.
Se a cota dos centros de inversão, dos eixos 4 inversos, dos eixos e dos espelhos horizontais é nula, esta não se encontra indicada, aparecendo próximo do símbolo caso contrário.

As posições equivalentes estão representadas por círculos cuja cor depende da cota (ver legenda).
Se os átomos possuírem a mesma cota, o último é representado por um semi-círculo cuja cor é função da sua cota.

Grupos monoclínicos.

Para os grupos monoclínicos, usa-se a representação principal que corresponde a α = γ = π/2;     π/2 < β < 2π/3.
Nesta rede, o eixo binário é paralelo ao eixo Oy. Nas representações, o eixo Oy está no plano da figura, o eixo Oz é normal ao plano da figur e o eixo Ox (situado abaixo do plano da figura) projeta-se segundo Oxp.
É também possível na aplicação visualizar o grupo com o eixo Oy (direção do binário nas classes holoédricas) normal ao plano da figura (rede c a b). Nesta representação, os eixos Oz e Ox estão contidos no plano da figura.

Por vezes utiliza-se uma representação em que o eixo binário está orientado segundo o eixo Oz.

Grupos ortorômbicos.

Para os grupos ortorrômbicos existem 6 formas distintas atuar nos vetores base a, b e c. Em numerosos casos, particularmente nos estudos de geminação, é preferível utilizar um sistema de eixos diferentes da rede convencional a // Ox, b // Oy e c // Oz.
Por exemplo na rede bca, temos: b // Ox, c // Oy e a // Oz.

 

Pour les groupes non symmorphiques, le nom du groupe (dans la notation de Hermann-Mauguin) peut changer car les symboles du mode de réseau et ceux des miroirs de glissement sont liés au repère utilisé. Esta é a causa de inúmeras confusões.
No programa, um procedimento gera a lista dos nomes equivalentes ao nome quot;standard" do grupo para diferentes redes possíveis. O programa permite o desenho do grupo nas redes abc, cab e bca.
NOTA:
na notação de Hermann Mauguin, nos grupos ortorrômbicos, o primeiro símbolo corresponde ou ao eixo paralelo a Ox ou a um espelho normal a Ox. O segundo símbolo corresponde à direção do eixo Oy e a terceira direção ao eixo Oz.

Grupos trigonais.

Para a rede trigonal (romboédrica) pode usar-se a representação clássica de MILLER, com o eixo 3 perpendicular ao plano de projeção ou recorrrer a uma malha múltipla hexagonal.

Os cristais com uma rede trigonal P, podem ser considerados como sendo do grupo do sistema hexagonal e, desta forma, descritos na malha P hexagonal. Para os cristais trigonais com uma rede R, é possível trabalhar numa malha múltipla hexagonal defenido por:

        A = a - b               a = 1/3 (+ 2.A + B + C)

        B = b - c               b = 1/3 (- A + B + C)

        C = a + b + c           c = 1/3 (- A - 2.B + C)

É possível considerar que a passagem da malha R para a malha P corresponde à adição das translações {2/3, 1/3, 1/3} e {1/3, 2/3, 2/3}

Se os índices de MILLER dos planos são covariantes com os vetores de base, as coordenadas são contravariantes. Para calcular as coordenadas na malha R a partir das coordenadas hexagonais, a coordenada da matriz de alteração dos eixos R => H, que deve ser utilizada.
Deve escrever-se:

Exemplo do grupo R-3:
O tripleto (x, y, z)H é idêntico ao tripleto (x + z, -x + y + z, -y + z)R que também pode ser escrito (X, Y, Z)R.
O equivalente numa rotação de 2π/3 em torno de Oz de (x, y, z)H ´´e o tripleto (-y, x - y, z)H que na malha R se escreve (-y+z, x+z, -x+y+z)R ou (Z,X, Y)R. Nesta malha, considera-se inicialmente o tripleto inicial (X, Y, Z) e depois o tripleto (Z, X, Y) por uma rotação de 2π/3 em torno da direção [111].

Para os grupos cuja rede é R, os cálculos são feitos numa malha múltipla, mas as coordenadas são igualmente calculadas pela malha R.

Grupos cúbicos.

Dado que a representação dos eixos oblíquos nos grupos cúbicos poderá não ser útil, bem como a representação dos símbolos que foram escolhidos para vigorar nas tabelas internacionais, o autor optou por não os representar nos esquemas. De igual forma, para conservar uma certa visibilidade nos esquemas dos grupos mais complexos, os elementos de simentria normais aos planos não são representados.

   Regresso à aplicação