Considere-se um recipiente cilindrico, de raio R, contendo um líquido de massa volúmica μ. A altura do líquido em repouso é Z0.
O recipiente está animado por um movimento de rotação uniforme em torno do seu eixo vertical, com uma velociade angular ω.
Admite-se que a adaptação do líquido no recipiente é perfeita.
Reportado a um sistema de eixos ligados a um recipiente (Ox horizontal e Oz vertical orientado para cima), considera-se que o líquido está em repouso. Um elemento de volume, dv, situado à distância r do eixo, é submetido ao seu peso -μ.dv.g e à força de inércia (horizontal) μ.dv.ω2.r.
Habitualmente, em estática de fluidos, a única força que intervém é a força gravítica e a expressão local da pressão é dada por dp = - μ.g.dz.
Neste caso especificamente, é necessário utilizar a relação vectorial geral: μ.F - grad (p) = 0, ligando as forças por unidade de massa a essa pressão.
No ponto usado, temos: μ.ω2.r - δp/δr = 0 (1) e - μ.g - δp/δz = 0 (2)
Ou dp = δp/δr.dr + δp/δz.dz
Assim, dp = μ.ω2.r.dr - μ.g.dz.
A integração desta relação dá a expressão da pressão no fluído p = ½.μω2.r2 - μ.g.z + Const.
A equação das isóbaras é então: z = ω2.r2/2g + Const.
Estes são os parabolóides de revolução em torno de Oz.
Para determinar o valor da constante que corresponde à superfície livre do líquido, é suficiente observar que o volume do líquido é invariável.
Desafios:
Mostrar que o volume formado por um parabolóide de revolução, limitado por um plano normal ao eixo, é igual à metade do volume do cilindro circunscrito a ½.π.R2.h e deduza o valor da constante.
Mostre, também, que a superfície do líquido passa sempre pelo círculo de cota Z0 e de raio 0,707.R.
Em cada ponto do fluído, a isóbara é normal à força aplicada ao elemento de volume considerado.
A aplicação
A aplicação simula
a rotação do recipiente cilíndrico (R = 10 cm, Z0 = 20 cm) em torno do seu eixo.
Fazendo deslizar o cursor verde com o rato, é possível fazer variar a velocidade angular.
A caixa de selecção permite mostrar, ou não, as forças que actuam sobre o elemento de volune à superfície.
A verde a força da gravidade, a azul a força de inércia e a vermelho a resultante.
Os pontos vermelhos
são desenhados no círculo invariante da superfície do fluído.
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU - Faculté des Sciences exactes et naturelles - Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Outubro de 2010
