Definição:
O ângulo sólido Ω de um cone de vértice A é numericamente igual à área da calote esférica Sc cortada pelo cone da esfera de centro A e de raio um. Este ângulo é expresso em esteroradianos (símbolo sr).
Pode dizer-se que se a esfera tem raio R, o ângulo sólido em que se vê Sc desde A é definido por: Ω = Sc / R².
É possível avaliar este ângulo sólido a partir do valor do ângulo a partir do vértice φ do cone.
Para avaliar a área Sc, considere-se uma área elementar dS formada por uma coroa de raio R.senα e espessura R.dα. A área dS é equivalente ao rectangulo de superfície 2π.Rsenα.Rdα. A integração de dS entre 0 e φ dá Sc = 2πR².(1 − cosφ).
O ângulo sólido definido por um cone com ângulo de vértice φ é, assim, Ω = 2π.(1 − cosφ).
A área de toda a esfera é igual a 4πR²: A visão completa do espaço corresponde a um ângulo de 4π esteroradianos.

Ângulo Sólido elementar:
Do ponto O, observa-se uma superfície dS que contém um ponto M. Seja R = OM, n o vector normal a dS, u o vector unitário apoiado por OM e θ o ângulo entre n e u.
O ângulo sólido elementar é definido pela grandeza escalar dΩ = dS.n.u / R² = dS.cosα / R².
Uma superfície estendida S é vista a partir de O com um ângulo sólido Ω = ∫∫dΩ.

Aplicação:
Se OM = R é grande e se a superfície é pequena, pode confundir-se a esfera com o seu plano tangente.
Nestas condições, o ângulo sólido a partir do qual se observa a superfície S a partir do ponto O, é Ω = dS.cosα / R². O olho humano tem uma visão na ordem dos 0,5 sr. A partir da Terra, o diâmetro aparente da Lua é 0,54° e o do Sol 0,52°.
Desde a Terra, observam-se estes dois astros sob um ângulo sólido de 9,4.10⁻³.

Utilização:
Os botões de selecção permitem escolher entre a observação:
do cone de revolução: o traço vermelho grosso corresponde à intersecção do cone com a esfera. O programa mostra o valor do ângulo sólido em unidades 2π e em sr.

Da distância: Observa-se uma superfície S (aqui, um círculo) de área constante com uma distância variável.
O programa exibe Ω₀ que corresponde ao valor exacto do ângulo sólido e Ω₁ que é o valor deduzido a partir da relação Ω = dS.cosα / R². Neste caso, α é nulo.
Pode verificar-se que para um ângulo no vértice do cone inferior a 10°, a diferença entre os dois valores é inferior a 2.10⁻³.
Ds inclinação O raio da esfera permanece constante e faz-se variar o ângulo α entre n e Ox. Como R é grande, pode fazer-se a projecção de S no plano tangente à esfera. Ω₀ é o valor do ângulo sólido sob o qual se observa S a partir da origem da esfera quando o ângulo α é nulo.
Desafio:
Estude os casos θ = 0° ; ψ = 0° e θ = 90° ; ψ = 0°

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Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Novembro de 2011