Teoria do corpo negro

Constante de Boltzmann     k = 1,380 650 3 × 10^-23J/K
Constante de Planck           h = 6,626 068 74 × 10^-34 J.s
Velocidade da luz                 c = 299 792 458 m/s

O fotão é um bosão, segue portanto a estatística de Bose-Einstein. A probabilidade de emissão de um bosão na presença de n bosões idênticos é proporcional a n+1 [P_e = (n+1) p] e a probabilidade de absorção é proporcional a n [P_a = n p] (p: probabilidade de emissão do bosão sozinho). *

O corpo negro é constituído por uma cavidade oca com volume V à temperatura T, em equilíbrio térmico. Os átomos da parede absorvem os fotões presentes na cavidade e depois reemitem-nos. Oscilam portanto entre dois níveis de energia E_a e E_e, separados por ΔE = hν

N_eátomos estão no estado E_e e N_a no estado E_a. A cavidade contém n fotões.
O número de fotões emitidos é portanto N_e P_e = N_e (n+1) p
e o número de fotões absorvidos é N_a P_a = N_a n p
Em equilíbrio térmico, estes dois valores são iguais, logo N_e (n+1) p = N_a n p ou N_e (n+1) = N_a n
Ora, em equilíbrio térmico, também N_e/N_a = e ^-ΔE/kT (fórmula de Boltzmann),
logo: n/(n+1) = e ^-ΔE/kT e, portanto: n = 1/(e ^ΔE/kT -1) = 1/(e ^hν/kT -1)
A energia dos fotões de frequência ν é então E_ν = n hν = hν/(e ^hν/kT -1)

Num comprimento L, há uma onda estacionária de polarização dada se L = j λ /2 ou L = j π/k_j, logo: k_j = j π/L   (j inteiro).
O intervalo entre dois números de onda sucessivos é então δk = π/L.
O número de valores de k compreendidos dentro de um intervalo δk >> δk é então   δk /δk = δk L/ π
Porém, numa onda estacionária contendo duas ondas, o número de modos δM não é mais que a média do número de valores de k, logo:        δM = δk L/ 2π

A 3 dimensões, δM = δMx δMy δMz = δkx Lx/2π δky Ly/2π δkz Lz/2π = LxLyLz/(2π)³ δkx δky δkz
δM = V /(2π)³ δk³. Tendo o fotão dois estados de polarização possíveis, δM = 2V/(2π)³δk³

δk³é o intervalo de volume esférico no espaço dos k e vale portanto 4πk² δk.
Logo: δM = 8πV/(2π)³ k²δk = V/π²k ²δk.
k = 2πν/c logo: δM = 8πVν²/c³δν

A cavidade contém δM modos, contendo cada um a energia E_ν = hν/(e ^hν/kT -1) em cada intervalo de frequência δν
A energia contida no intervalo de frequência δν é então δE = 8 πVν²/c³hν/(e ^hν/kT -1) δν
dE = 8πVhν³/ (c³(e ^hν/kT -1) ) δν

Energia volúmica por intervalo de frequência dν: dE = δ E/V

dE = 8πhν³/ (c³(e ^hν/kT -1) ) dν

ν = ω/2π logo: dν = dω/2π. Tem-se então dE = 16π² hω ³/(c³(e ^h^w/kT -1) ) dω/16π⁴= hω ³/(π²c³(e ^h^w/kT -1) ) dω com h = h/2π

λ = c/ν ou ν = c/λ logo: dν = (-) c/l²dλ. Tem-se então dE = 8π hc³/(λ³ c³(e ^hc/kλT -1) ) c/λ²dλ .

Energia volúmica por intervalo de comprimento de onda

Curva dE/dλ = f (λ)

dE 8πhc 1
--- = ---- ------------
dλ λ⁵ ( e ^hc/kλT - 1 )

A curva passa por um valor máximo quando λ⁵ ( e ^hc/kλT - 1 ) passa por um valor mínimo.

Derivando em relação a λ: 5λ⁴( e ^hc/kλT - 1 ) - λ⁵hc/(kλ²T)e ^hc/kλT = 0
Simplificando: λ^{4 :}5 ( e ^hc/kλT - 1 ) - hc/(kλT)e ^hc/kλT = 0 logo: ( 5 - hc/(kλT)) e ^hc/kλT - 5 = 0
Considera-se hc/(kλT) = u
( 5 - u ) e ^u - 5 = 0
Considera-se 5 - u = x
então: x e ^5-x = 5 logo: x e ⁵e^-x= 5 e, deste modo: e ⁵/5 x = e^x

Resta resolver esta equação, o que não é muito evidente de não for feito numericamente. ^.

A solução é o ponto de coincidência inferior das curvas y = e ⁵/5 x e y = e^x
que é aproximadamente y = 30 x e y = e^x. Manifestamente, y é próximo de 1 e portanto x é próximo de 1/30.
Como x << 1, pode-se desenvolver e^x na série de Taylor em 2^a ordem: e^x= 1 + x + x²/2
Logo: 1 + x + x²/2 = e ⁵/5 x
x² - 2( e ⁵/5 -1 ) x + 2 = 0
A solução é então: x = ( e ⁵/5 -1 ) - ( ( e ⁵/5 -1) ² - 2 ) ^1/2 = 0,03488552 (A determinação numérica dá 0,0348857682557236963, logo a aproximação é muito boa).
u = hc/(kλT) = 5 - x = 4,9651142317442763037
λ = hc/( 4,9651142317442763037 kT ) = 2,8977686 × 10^-3/T , é a Lei do deslocamento de Wien.

λ_max = 2897,77 × 10^-6/T

A intensidade luminosa I é a potência luminosa por m² à frequência ν no interior do corpo negro.
É a energia produzida num segundo à frequência ν numa secção de 1 m², é portanto a energia contida num volume de secção 1 m² e de comprimento c: V = c
É portanto: I (ν) = V dE/ dν = c dE/ dν = 8πhν³/ (c²(e ^hν/kT -1))ou I (ω) = c dE/dω = hω³/(π ²c²(e ^h^ω/kT -1))

I (ν) = 8π hν³/(c²(e ^hν/kT -1)) ou
I (ω) = hω³/(π ²c²(e ^h^ω/kT -1))

A lei de Stefan-Boltzmann (ou lei de Stefan) dá a potência luminosa que sai de um corpo negro por uma superfície de 1 m².
Esta energia é o quarto da energia à frequência ν contida num volume V de secção 1 m² e de comprimento c.1s : V = c.
É então um quarto da intensidade luminosa à frequência ν.
Porquê um quarto? Porque metade da luz volta para trás e a luz que vem para a frente propaga-se em todas as direções, e tem portanto um fator cosseno que leva de novo a um fator de 1/2.
É então o integral em todos os ν da função I(ν)/4 = 2πhν³/ (c²(e ^hν/kT -1))

P =

I(ν)/4 dν =

2πhν³/(c²(e ^hν/kT -1)) dν

Considera-se u = hν/kT, tem-se então I dν = 2πh(kTu/h)³/c² /(e^u -1) kT/h du = 2πk⁴T ⁴/h³/c²u³/(e^u -1)du

logo: P = 2πk⁴T⁴/h ³ /c²

u³/(e^u -1)du pois

u³/(e^u -1)du = π⁴/15, **

logo: P = 2π⁵k⁴/ (15 h³c²) T⁴ = σT⁴ (Lei de Stefan)A constante de Stefan-Boltzmann: σ = 2π⁵k⁴ /(15 h³c²) = 5,6703994 × 10^-8 W m^-2 K^-4

O albedo é a proporção de energia luminosa solar que não é absorvida pela Terra, é refletida pela atmosfera.
Dados e medidas possíveis a partir da Terra:
        R_T: raio da Terra
        R_S: raio do Sol
        d: distância Terra-Sol
        θ: diâmetro aparente do Sol = 2R_S/d = 32' = 9,308 × 10^-3 rd
        T_T: Temperatura média da atmosfera terrestre = -18 °C = 255 K (Viva o efeito de estufa!!!)
        T_S: Temperatura da superfície do Sol
        l_maxdo Sol = 0,5014 µm

T_S= 2,898 × 10^-6/λ_max = 5780K (Aplicação da Lei de Wien)
Potência emitida pelo Sol P₀ = 4πR_S²σ T_S⁴ (Aplicação da Lei de Stefan)
Potência recebida pela Terra P_S= P₀ πR_T²/4πd² = P₀ R_T²/4d² = 4πR_S²σ T_S⁴R_T²/4d² = πθ²σ T_S⁴R_T²/4
Potência emitida pela Terra P_T = 4πR_T²σ T_T⁴ (Aplicação da Lei de Stefan)
P_T/P_S= 4πR_T²σ T_T⁴ / (πθ²σ T_S⁴R_T²/4) = 16/θ² ( T_T/T_S )⁴ = 0,689
Albedo a = 1- P_T/P_S= 0,311 (Cerca de 30 % da energia recebida é refletida pela atmosfera.)

Dados:
        R_S: raio do Sol = 696265 km
        T_S: Temperatura da superfície do Sol = 5780K
        Potência emitida pelo Sol P_S = 4πR_S² σ T_S⁴ = 3,85 × 10²⁶ W
        Massa perdida por segundo (relação de Einstein) = P_S/c² = 4,291 × 10⁹ kg/s (mais de 4 milhões de toneladas por segundo!!)
Por outro lado, o Sol perde também cerca de 1 milhão de toneladas de matéria por segundo devido ao vento solar.

Massa perdida pelo Sol depois da sua formação (4,6 10⁹ anos):
M = 5,3 × 10⁹x 4,6 × 10⁹ x 365,25 x 24 x 3600 = 7,7 × 10²⁶ kg (cerca de 128 massas terrestres, o que é muito pouco (0,038%) em relação à massa do Sol que é igual a 333432 massas terrestres.

Sabendo que Σ qⁿ = q/(1 - q ) = 1/( 1/q -1 ), tem-se 1/(e^u -1) = 1/(1/e^-u -1) = Σ (e^-u)ⁿ= Σ e^-nu logo:

* Os puristas poderão inquietar-se pelo facto de uma probabilidade poder claramente ultrapassar 1! Será necessário normalizá-la. Na prática, não há lugar para essa preocupação dado que apenas se utilizam as razões das probabilidades.

Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Diana Barbosa e Manuel Silva Pinto em outubro de 2011