Se se produz um conjunto de reflexões nos três espelhos então, o raio emergente é paralelo ao raio incidente.
Demonstrações:
a) Uma reflexão no espelho plano é equivalente a uma simetria relativamente a um plano.
b) Numa reflexão sobre um espelho plano, o raio reflectido é simétrico ao raio incidente relativamente ao plano do espelho. Se os co-senos directores do raio incidente são cosα, cosβ e cosγ, os co-senos directores do raio reflectido pelo espelho M3 são cosα, cosβ e −cosγ. Depois de uma reflexão em M2, os co-senos são cosα, −cosβ e −cosγ. Depois de uma terceira reflexão sobre M1, os co-senos directores do raio emergente são os co-senos directores −cosα, −cosβ e −cosγ: Este raio tem uma direcção oposta à do raio inicial.
Este é o método utilizado neste programa.
c) Seja u e u' os vectores unitários segundo a direcção dos raios incidentes e reflectidos por um espelho, n e t os vectores unitários nornais e tangentes do espelho no plano de incidência e i o ângulo de incidência.
Assim, temos que:
u = seni.t − cosi.n e u' = seni.t + cosi.n ⇒ u' − u = 2.cosi.n = − 2.(u.n).n ⇒ u' = u − 2.(u.n).n
Sejam n1, n2 e n3 os vectores unitários normais aos três planos reflectores.
Os vectores unitários dos raios são, após uma, duas e três reflexões:
u1 = u − 2(u.n1).n1 ; u2 = u1 − 2(u1.n2).n2 ; u3 = u2 − 2(u2.n3).n3 ;
Como os espelhos são ortogonais dois a dois, temos que: u1.n2 = u.n2 e u2.n3 = u.n3
Portanto, u3 = u − 2[(u.n1).n1 + (u.n2).n2 + (u.n3).n3]
E como, u = (u.n1).n1 + (u.n2).n2 + (u.n3).n3, temos que u3 = −u ;
Aplicações:
Esta propriedade é usada nos reflectores dos veículos que são compostos por um conjunto pequenos cantos de cubo.
Foram colocados sobre a Lua vários painéis de peças ópticas. São iluminados com um laser de impulsão colocados na entrada de um telescópio direccionado para um reflector, medindo-se a o tempo entre a partida do impulso e o seu regresso à Terra. Com este método, é possível medir a distância Terra - Lua com um precisão de alguns centímetros.
Utilização:
Três cursores permitem alterar os valores dos co-senos directores do raio incidente.
Uma caixa de selecção permite mostrar os vectores normais aos pontos de reflexão.
Utilize os dois botões do rato para fazer deslizar os cursores de modo a alterar o ângulo de visão.
O raio incidente é desenhado com um traço a negrito para ser facilmente identificado.
O programa mostra diversas mensagens descrevendo a situação estudada.
Oriente a perspectiva de forma a colocar as projecções dos espelhos paralelos ou perpendiculares ao plano do écran.
(θ = 0° ou 90° et ψ = 0° ou 90°).
Estude os casos cosα = 0 , cosβ = 1 e cosα = 1 , cosβ = 0
(o raio incidente é paralelo a um espelho) que corresponde
à reflexão de um raio por dois espelhos ortogonais.
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Novembro de 2011
