Lentes delgadas e espelhos esféricos   
1. A refração

Lei de Descartes :  n1 sen i = n2 sen r      (cf: refração)


2. As lentes delgadas nas condições de Gauss

  2.1 Diagrama do dioptro

p = OA         ( p < 0 )

p' = OA'        ( p' > 0 )

R = OC         ( R > 0 )

  2.2 Relação do dioptro

sen α  =  h/R      
 n1 sen i = n2 sen r
tan ( i -α ) = - h/p     ( p < 0 )
tan ( α - r ) = h/p'

Aproximações de Gauss: os ângulos são pequenos, portanto h é pequeno e O está muito próximo do dioptro (raios paraxiais). 
Na prática, impõe-se que h<R/10

Tem-se portanto: sen ε = tan ε = ε
  logo:
    α  =  h/R
    n1 i  =  n2 r
    i - α  = - h/p
    α - r  =  h/p'
  logo:
    i  =  α  - h/p  =  h/R - h/p
    r  =  α - h/p' =  h/R - h/p'
    n1 i  =  n2  r  =  n1 ( h/R - h/p )  =  n2 ( h/R  -  h/p' )
  logo:   n2 h/p' -  n1 h/p=  ( n2 - n1 )h/R 
  logo:

        n2 /p' - n1/p   =  ( n2 - n1 ) /R       Relação de combinação dos dioptros.

A relação não depende de h, portanto todos os raios que partem de A convergem em A'. Nas condições de Gauss, o dioptro é, portanto, estigmático.


 2.3 Relação das lentes delgadas



Lente delgada: O está muito próximo das superfícies dos dois dioptros.
Ar: índice = 1
Lente: índice = n
1º dioptro (n1 = 1, n2 = n): 
            n /p1  =  ( n -1) /R1 +  1/p          (R1 > 0)
2º dioptro (n1 = n, n2 = 1):  
           1 /p'  =  (1 - n ) / R2  +  n/p1   (R2  < 0) 
logo:    1/p' =  ( n - 1 ) /R1  -  ( n - 1 ) /R2  +  1 /p 

            1/p'  -  1 /p  =  ( n - 1 )( 1 /R1  - 1 /R2  )  = 1/f ' = C        Lei de Descartes para as lentes delgadas


 2.4 Distância focal

A distância focal f ' = OF ' é a distância entre o centro da lente e o local onde se forma a imagem de um objeto colocado no infinito.
Se p é infinito, 1 /p'  =  ( n - 1 )( 1 /R1  - 1 /R2  )  = 1/f ' = C        

       1/f ' = C   = ( n - 1 )( 1 /R1  - 1 /R2  ) 

 Lentes convexas: R1 > 0  e  R2 < 0  ou  1/R1 > 1/R2,    logo:  f ' > 0  e  C = 1/f ' > 0     (F ' à direita do espelho)
 Lentes côncavas: R1 < 0  e  R2 > 0  ou  1 /R1 < 1 /R2,   logo:  f ' < 0  et  C = 1/f ' < 0     (F ' à esquerda do espelho)


 2.5. As lentes esféricas fora das condições de Gauss

Estudo da distância focal f = OF de uma lente plano-convexa:

f0 = (n-1)R

OF = f
L' = R cos i = ( R² - h²)1/2
d = R - L' = R - ( R² - h²)1/2
f ' = f  + d = L cos α
f ' = f  + R - ( R² - h²)1/2
L = ( f '² + h² )1/2

n sen i = sen( i + α ) = sen i cos α + senα cos i
n = cosα + senα/tan i  = f '/L + h/L  L'/h = f '/L + L'/L = ( f ' + L' )/L
L = ( f ' + L' )/n  logo:  L² = ( f '² + L'² + 2 f 'L' )/n²   logo:  f '² +  h² = ( f '² + L'² + 2 f 'L' )/n²
( n² -1 ) f '² + 2 f 'L' + n²h² - L'² = 0
f ' = ( L' + ( L'² - ( n² -1 ) ( n²h² - L'² ))1/2 )/( n² -1 )      (O outro sinal não tem sentido físico)
f ' = ( L' + ( L'² - n4h² + n²L'² - L'² + n²h² )1/2)/( n² -1 ) 
f ' = ( L' + ( - n4h² + n²L'² + n²h² )1/2)/( n² -1 ) = ( L' + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) = ( ( R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) 
f  + R - ( R² - h²)1/2 = ((R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) 
f  = ((R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) - R + ( R² - h²)1/2 = ( n²(R² - h²)1/2  +  n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) - R
f = R (n( n(1 - h²/R²)1/2  + (1 - n²h²/R²)1/2)/( n² -1 ) - 1) 
f = f0 (n( n(1 - h²/R²)1/2  + (1 - n²h²/R² )1/2)/( n + 1 ) - n + 1)               ( f0  = R/(n-1)  é a distância focal da lente)

Curva f/f0 = f(h/R) para n = 1,5

f0 = R/(n-1)

f é independente de h para h < 0,1R

Para h/R = 1/n = 0,667,  fm = 0,171 f0

Valor limite de f
f não existe a não ser que R² - n²h² >= 0, logo, se h/R <= 1/n  ou  sen i <= 1/n 
sen i = 1/n corresponde ao ângulo limite de saída do raio da lente, onde i + α = 90°
Se h/R = 1/n, tem-se então fm = R( n²(1 - 1/n²)1/2 )/( n² -1 ) - R = R n/( n² -1 )1/2 - R
fm = R ( n/( n² -1 )1/2 - 1 ) = f0 ( n(n-1)1/2/(n+1)1/2  -  n  + 1 )               ( f0  = R/(n-1)  é a distância focal da lente)

Valor de f  para os valores baixos de h (h²/R² << 1)
f  =  ( n²(R² - h²)1/2  +  n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) - R =  ( n²R(1 - h²/R²)1/2  +  nR( 1 - n²h²/R² )1/2)/( n² -1 ) - R 
f = ( n²R(1 - h²/2R² )  +  nR( 1 - n²h²/2R² ))/( n² -1 ) - R = ( n²R - n²h²/2R +  nR - n3h²/2R)/( n² -1 ) - R 
f  = (n²R + nR - n²( n + 1)h²/2R  - n²R + R )/( n² -1 ) = ( n + 1 )R/( n² -1 ) - n²( n + 1)h²/2R /( n² -1 ) = R/( n -1 ) - n²h²/2R /( n -1 ) 
f = R/( n -1 ) ( 1 - n²h²/2R²) =  f0 ( 1 - n²h²/2R²)                ( f0  = R/(n-1)  é a distância focal da lente)

Para que f seja superior a 99% de f0  (Condições de Gauss), é necessário que  n²h²/2R² < 0,01,  logo: h²/R² < 0,02/n² = 0,01,  logo: h/R < 0,1.
Está-se dentro das condições de Gauss se o raio da zona útil (do diafragma) é inferior a R/10 ou se o diâmetro é inferior a f0/10. 


3. Os espelhos esféricos nas condições de Gauss

  3.1 Diagrama do espelho

p = OA         (p < 0)

p' = OA'        (p' < 0)

R = OC        (R < 0)

 

 3.2 Relação dos espelhos esféricos

sen α  =  - h/R     (R < 0)
tan (α - i )  =  - h/p     (p < 0)
tan (α + i ) =  - h/p'    (p' < 0)

Aproximações de Gauss: os ângulos são pequenos, logo h é pequeno  e O está muito próximo da superfície do espelho (raios paraxiais).
Na prática, impõe-se que h<R/10.

Tem-se portanto: sen ε = tan ε = ε
  logo:
    α  =  - h/R    
    α  - i  =  - h/p
    α + i  =  - h/p'
  logo:
    2 α  = - h/p - h/p' =  - 2 h/R 
  logo:
         1/p' +  1 /p =  2 /R   = 1/f ' = C                     Lei de Descartes para os espelhos esféricos

A relação não depende de h, portanto todos os raios que partem de A convergem em A'. Nas condições de Gauss o espelho é, portanto, estigmático.


  3.3 Distância focal
A distância focal f ' = OF ' é a distância entre o centro do espelho e o local onde se forma a imagem de um objeto colocado no infinito.
Se p é infinito, 1 /p'  =  2/R  = 1/f ' = C        

         OF ' = f ' = 1/C   =  R/2

 Espelho côncavo:   R  < 0,      logo:   C < 0   (F ' à esquerda do espelho)
 Lente convexa:   R  > 0     logo:   C > 0  (F ' à direita do espelho)


 3.4 Os espelhos esféricos fora das condições de Gauss

Estudo da distância focal f = OF de uma lente plano-convexa:

OF = f
L' = R cos i = ( R² - h²)1/2
d = R - L' = R - ( R² - h²)1/2
f ' = f  - d 
f ' = f  - R + ( R² - h²)1/2

f ' = h/tan 2i = h cos 2i/sen 2i = h cos 2i/( 2 sen i cos i ) = h f '/(f '² + h² )1/2 /( 2 h/R L'/R ) 
h/(f '² + h² )1/2 = 2 hL'/R²
(f '² + h² )1/2 = R²/(2L') logo: L' = R²/(2 (f '² + h² )1/2)
L'² = R4/(4 (f '² + h² ))  e  L'² = ( R² - h² )
R² -  h² = R4/(4 (f '² + h² ))  logo: f '² + h² = R4/(4(R² -  h²)) = R²/(4(1 -  h²/R²))
f '² = R²(1/(4(1 -  h²/R²)) - h²/R²) = R²(1 -  4 h²/R²(1 - h²/R²)/(4(1 - h²/R²)) = R²(1 - 2h²/R²)²/(4(1 - h²/R²))
f ' = R(1 - 2h²/R²)/(2(1 - h²/R²)1/2)               (O outro sinal não tem sentido físico)

Por outra parte, f ' = f - R + ( R² - h²)1/2  logo:
f = R(1 - 2h²/R²)/(2(1 - h²/R²)1/2) + R - (R² - h²)1/2 = R (1 - (1 - h²/R²)1/2  +  (1 - 2h²/R²)/(2(1 - h²/R²)1/2)) 
f = R(2(1 - h²/R²)1/2  - 1)/(2(1 - h²/R²)1/2 ) = R(1 - 1/(2(1 - h²/R²)1/2 ))
f = R(1 - 0,5/(1 - h²/R²)1/2) = f0 (2 - 1/(1 - h²/R²)1/2)            (f0 = R/2   é a distância focal do espelho)

f0 = R/2

f é independente de h para h < 0,15 R

Para h/R = sen 60° = 0,866, f = 0

Valor de f  para os baixos valores de h (h²/R² << 1)
f  =  R(1 - 1/(2(1 - h²/R²)1/2 ))
f = R(1 - (1 + h²/2R²)/2) = R(1/2 - h²/R²/4))
f = 0,5 R(1 - h²/2R²) = f0 (1 - h²/2R²)      (f0 = R/2  é a distância focal do espelho)

Para que f seja superior a 99% de f0  (Condições de Gauss), é necessário que h²/2R² < 0,01,  logo: h²/R² < 0,02,  logo: h/R < 0,14.
Está-se dentro das condições de Gauss se o raio da zona útil (do diafragma) é inferior a R/10 ou se o diâmetro é inferior a 4f0/10,  próximo de  f0/2.
Para um telescópio com distância focal de 1m, isto corresponde a um espelho com 40 cm de diâmetro. Obtém-se então uma imagem de um ponto que consiste num halo fino de 2 mm de raio. Não é muito aparente, mas é inaceitável para imagens de alta resolução. É por isso que nos telescópios astronómicos se utilizam espelhos parabólicos que são perfeitamente estigmáticos.


4. Poder de resolução de um instrumento ótico

 
    Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências por Diana Barbosa e Manuel Silva Pinto em Setembro de 2011